Inhaltsverzeichnis

1. Sonstige Berechnungen
   1. Wasserdichte
   2. Spindel Temperaturkorrektur
   3. Mischungstemperatur
      1. Spezifischen Wärmekapazitäten
      2. Spezifische Wärmekapazität einer Maische
   4. Benötigtes Gefäßvolumen
      1. Maischekessel
      2. Sudpfanne

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Sonstige Berechnungen

Wasserdichte

Die Dichte von Wasser in Abhängigkeit der Temperatur in °C wird mit folgendem Polynom approximiert

\[\rho_{Wasser}(T) = \frac{a_0 + a_1 \cdot T + a_2 \cdot T^2 + a_3 \cdot T^3 + a_4 \cdot T^4 + a_5 \cdot T^5}{1 + b \cdot T} \cdot 10^{-3}\] \[\begin{align} a_0 &= 999.83952 \nonumber \\ a_1 &= 16.952577 \nonumber \\ a_2 &= -0.0079905127 \nonumber \\ a_3 &= -0.000046241757 \nonumber \\ a_4 &= 0.00000010584601 \nonumber \\ a_5 &= -0.00000000028103006 \nonumber \\ b &= 0.016887236 \nonumber \end{align}\]

Dichte für 20°C und 100°C

\[\rho_{Wasser}(20) = 0.998 \nonumber\] \[\rho_{Wasser}(100) = 0.958 \nonumber\]

Volumenänderung von 20°C nach 100°C

\[V_{100}= V_{20} \cdot \frac{\rho_{Wasser}(20)}{\rho_{Wasser}(100)} = V_{20} \cdot 1.0416 \nonumber\]

Volumenänderung von 100°C nach 20°C

\[V_{20}= V_{100} \cdot \frac{\rho_{Wasser}(100)}{\rho_{Wasser}(20)} = V_{100} \cdot 0.9601 \nonumber\]

Spindel Temperaturkorrektur

Quelle: Fabier

Die Bierspindel ist bei einer bestimmten Temperatur geeicht (meist 20°C). Wird die Messung bei einer anderen Temperatur durchgeführt, so muss der Wert korrigiert werden.

Ausgang der Korrektur sind die Dichtedaten von Saccharose-Lösung bei verschiedenen Temperaturen.

Quelle: Zuckertechniker-Taschenbuch, Albert Bartens Verlage, Berlin, 1966, 7. Auflage

Zuerst wird die Dichte ermittelt (2-fache Interpolation), die die Würze hätte, wenn der gemessene Wert bei Eichtemperatur der Spindel abgelesen worden wäre.

Danach wird die Dichteverteilung für die tatsächliche Temperatur ermittelt (Interpolation). Also sozusagen eine horizontale Linie bei der tatsächlichen Temperatur.

Schließlich wird die tatsächliche Dichte berechnet (Interpolation) und der entsprechende Plato Wert ausgegeben.

Beispiel:

\[\begin{align} plato_{gmessen} &= 10, T_{gemessen} = 30, T_{geeicht} = 20 \nonumber \\ dichte(plato_{gmessen}, T_{geeicht}) &= 1.0381 \nonumber \\ dichteverteilung(T_{gemessen}) &= \begin{bmatrix} 0.9957 & 1.0151 & 1.0353 & 1.0561 & 1.0777 & 1.1000 & 1.1232 & 1.1473 & 1.1723 \end{bmatrix} \nonumber \\ plato_{wirklich} &= interpolation(dichteverteilung(T_{gemessen}), dichte(plato_{gmessen}, T_{geeicht})) = 12.7 \nonumber \end{align}\]

Die Interpolation erfolgt jeweils mit einer Lagrange-Interpolation mit k=3.

Mischungstemperatur

Quelle: Wikipedia

Je nach gewünschter Größe kann eine dieser Formeln verwendet werden

\[T_m = \frac{m_1 \cdot c_1 \cdot T_1 + m_2 \cdot c_2 \cdot T_2}{m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2} \label{eq:mischungstemperatur_tm}\] \[T_2 = T_{m} + \frac{m_1 \cdot c_1}{m_2 \cdot c_2} \cdot (T_m - T_1) \label{eq:mischungstemperatur_t2}\] \[m_2 = \frac{m_1 \cdot c_1}{c_2} \cdot \frac{T_m - T_1}{T_2 - T_m} \label{eq:mischungstemperatur_m2}\]

Spezifischen Wärmekapazitäten

Folgende konstante Werte werden für die Berechnungen angenommen

\[c_{Wasser} = 4.2 \nonumber\] \[c_{Malz} = 1.7 \nonumber\]

Spezifische Wärmekapazität einer Maische

Die Maische setzt sich zusammen aus einem Wasser- und einem Malzanteil.

\[c_{Maische} = \frac{m_{Wasser} \cdot c_{Wasser} + m_{Malz} \cdot c_{Malz}}{m_{Wasser} + m_{Malz}}\] \[m_{Wasser} = V_{Wasser} \cdot \rho_{Wasser} \nonumber\]

Benötigtes Gefäßvolumen

Maischekessel

\[V_{MaxMaischen} = V_{Hauptguss} + f_{MalzVerdraengung} \cdot m_{Malz} = V_{Hauptguss} + 0.75 \cdot m_{Malz}\]

Sudpfanne

\[V_{MaxKochen} = V_{Kochbeginn} \cdot \frac{\rho_{Wasser}(20)}{\rho_{Wasser}(100)} = V_{Kochbeginn} \cdot 1.0416\]

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